CONDICIONES DE FRONTERA E INICIALES

las ecuaciones diferenciales no incorporan información relacionada con las condiciones sobre las superficies, como la temperatura de la superficie o un flujo específico de calor. Empero, se sabe

que el flujo de calor y la distribución de temperatura en un medio depende de las condiciones en las superficies, y la descripción completa de un problema de transferencia de calor en un medio tiene que incluir las condiciones térmicas en las superficies limítrofes del mismo. La expresión matemática de las condiciones térmicas en las fronteras se llama condiciones de frontera. la cual es una expresión matemática para la distribución inicial de temperatura del medio.
La ecuación de la conducción es de primer orden en el tiempo (contiene la primera derivada de la temperatura con respecto al tiempo).
En coordenadas rectangulares, la condición inicial se puede especificar en la forma general como

La temperatura en cualquier punto sobre ella en un momento dado también depende de la condición

de la pared al principio del proceso de conducción de calor. Tal condición, que suele especificarse en el instante t = 0, se llama condición inicial, la cual es una expresión matemática para la distribución inicial de temperatura del medio.

• TEMPERATURA ESPECIFICA

Se puede medir con facilidad y directamente y t1 y t2 puede ser constantes o variar con el tiempo

• FLUJO ESPECIFICO DE CALOR

Esta determinado por la ley de fourier

CASO I: FRONTERA AISLADA

Reduce el flujo de calor por lo tanto se puede despreciar

CASO II: SIMETRÍA TÉRMICA

La transferencia de calor en 2 superficies de una placa poseera simetria termica x=L/2 lo cual el flujo de calor se ira por cualquier medio y no habra flujo de calor en el plano central.

• CONVECCION DE FRONTERA

Se basa en un balance de energía superficial expresado como:

(conducción de calor en la superficie en una dirección seleccionada)=(conveccion de calor en la superficie en la misma dirección)

Condiciones con espesor (L) en superficies se expresan

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• RADIACIÓN 

La radiación se convierte es el único mecanismo de transferencia de calor entre las superficie y los alrededores.

-Para una transferencia de calor en la dirección x en una placa de espesor L

• .INTERFASE

Algunos cuerpos están formados por capas de diferentes materiales. Para determinar la transferencia de calor en cada interfase (superficie) requiere de especificaciones de las condiciones de frontera en cada interfase:
1) Los cuerpos en contacto deben tener la misma temperatura
2) Una interfase, el flujo de calor sobre ambos lados debe ser el mismo.

• FRONTERA GENERALIZADA

Una superficie puede comprender conveccion, radiacion y flujo especificado de calor simultaneamente.

Tabla 

ECUACION GENERAL DE CONDUCCION DE CALOR

La mayor parte de los problemas de transferencia de calor que se encuentran en la práctica se pueden aproximar como si fueran unidimensionales, Empero, éste no siempre es el caso y a veces se necesita considerar la transferencia de calor también en otras direcciones. En esos casos se dice que la conducción de calor es multidimensional.
Estas ecuaciones tanto como para coordenadas rectangulares, esféricas y cilíndricas se comienza con un balance de energía. (solo se cambiaría las coordenadas).

• Coordenada Rectangulares

Dado que las áreas de transferencia de calor del elemento para la conducción de ese calor en las direcciones x, y y z

En el caso de conductividad térmica constante, esta ecuacion se conoce como ecuacion de Fourier-Biot

Donde tambien se reduce a otras formas como las siguientes:

• Coordenadas Cilíndricas
  

Donde se obtiene:

• Coordenadas Esféricas

Donde se obtiene la sgte ecuación

ECUACIONES DE LA CONDUCCION DE CALOR PARA LAS 3 CORDENADAS

La conducción de calor en estas y muchas otras configuraciones geométricas se puede considerar unidimensional, ya que la conducción a través de ellas será dominante en una dirección y despreciable en las demás. En seguida la ecuación unidimensional de la conducción de calor en coordenadas rectangulares

Ecuación de la conducción de calor en una PARED PLANA

la ecuación unidimensional de conducción de calor en régimen transitorio en una pared de ese tipo queda

Otros casos.

Ecuación unidimensional de calor para un CILINDRO

Puesto que el área de transferencia de calor en este caso es A 2pi*r*L, la ecuación unidimensional de conducción de calor en régimen transitorio en un cilindro queda

Ecuación unidimensional de calor para una ESFERA

El área de la esfera normal a la dirección de transferencia de calor, en cualquier lugar, A=4pi*r^2 es  en donde r es el valor del radio en ese lugar. Note que, en este caso, el área de transferencia de calor A, depende de r y, por lo tanto, varía con la ubicación. 

ECUACION UNIDIMENSIONAL DE CONDUCCION DE CALOR

La transferencia de calor tiene dirección y magnitud. La razón de la transferencia de calor por conducción en una dirección específica es proporcional al gradiente de temperatura, el cual es la razón del cambio de la temperatura con respecto a la distancia, en esa dirección. En general, la conducción de calor en un medio es tridimensional y depende del tiempo, y la temperatura en un medio varía con la posición y con el tiempo; es decir, T = T(x, y, z, t). Se dice que la conducción en un medio es estacionaria (algunos autores emplean el término estable) cuando la temperatura no varía con el tiempo, y no estacionaria o transitoria, cuando lo hace. Se dice que la conducción de calor en un medio es unidimensional cuando la transferencia de calor por conducción es significativa sólo en una dimensión y despreciable en las otras dos direcciones primarias, bidimensional cuando la conducción en la tercera dimensión es despreciable y tridimensional cuando la conducción en todas las dimensiones es significativa.

La especificación de la temperatura en un punto en un medio requiere en primer lugar la determinación de la ubicación de ese punto. Esto se puede hacer al elegir un sistema adecuado de coordenadas, como las rectangulares, cilíndricas o esféricas, dependiendo de la configuración geométrica que intervenga, y un punto conveniente de referencia (el origen).

Transferencia de calor estacionaria en comparación con la transferencia transitoria

Los problemas de transferencia de calor a menudo se clasifican como estacionarios (también llamados estables) o transitorios (también llamados no estables o no estacionarios). El término estacionario implica que no hay cambio con el tiempo en cualquier punto dentro del medio, en tanto que transitorio implica variación con el tiempo o dependencia con respecto al tiempo.

Transferencia de calor multidimensional

Los problemas de transferencia de calor también se clasifican como unidimensionales, bidimensionales o tridimensionales, dependiendo de las magnitudes relativas de las razones de transferencia en las diferentes direcciones y del nivel de exactitud deseado. En el caso más general la transferencia de calor a través de un medio es tridimensional.

Generación de Calor

En un medio a través del cual se transfiere calor puede tenerse la conversión de energía mecánica, eléctrica, nuclear o química en calor (o energía térmica).

En el análisis de la conducción de calor, esos procesos de conversión son caracterizados como generación de calor 

La razón de generación de calor en un medio puede variar con el tiempo y con la posición dentro de él. Cuando se conoce la variación de la generación de calor con la posición, la razón total de esa generación en un medio de volumen V se puede determinar a partir de:

unidimensional

En el caso especial de una generación uniforme de calor, la relación de la ecuación se reduce a Egen =egen*V, en donde egen es la razón constante de generación de calor por unidad de volumen.

bidimensional y tridimensional

ECUACION DE LA ENERGIA INTERNA

   

   La magnitud que designa la energía almacenada por un sistema de partículas se denomina energía interna (U). La energía interna es el resultado de la contribución de la energía cinética de las moléculas o átomos que lo constituyen, de sus energías de rotación, traslación y vibración, además de la energía potencial intermolecular debida a las fuerzas de tipo gravitatorio, electromagnético y nuclear.

   La energía interna es una función de estado: su variación entre dos estados es independiente de la transformación que los conecte, sólo depende del estado inicial y del estado final.

   La energía interna de un sistema es una caracterización macroscópica de la energía microscópica de todas las partículas que lo componen. Un sistema está formado por gran cantidad de partículas en movimiento. Cada una de Ella posee:

• energía cinética, por el hecho de encontrarse a una determinada velocidad
• energía potencial gravitatoria, por el hecho de encontrarse en determinadas posiciones unas respecto de otras 
• energía potencial elástica, por el hecho vibrar en el interior del sistema

   Existen, además, otros tipos de energía asociadas a las partículas microscópicas tales como la energía química o la nuclear. 

   En definitiva, en el interior de un sistema conviven distintos tipos de energía, asociadas a las partículas microscópicas que los componen y que forman su energía interna.

   En termodinámica la energía interna de un sistema (U) es una variable de estado. Representa la suma de todas las energías de las partículas microscópicas que componen el sistema. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el julio (J).

   Observa que el valor de U es la suma de todas las energías del interior del sistema, por lo que no se incluye ni la energía cinética global ni la energía potencial gravitatoria global ni la energía potencial elástica global del mismo. 

   La primera ley de la termodinámica establece una relación entre la energía interna del sistema y la energía que intercambia con el entorno en forma de calor o trabajo.

   La primera ley de la termodinámica determina que la energía interna de un sistema aumenta cuando se le transfiere calor o se realiza un trabajo sobre él. Su expresión depende del criterio de signos para sistemas termodinámicos elegido:

Criterio IUPAC

   Se considera positivo aquello que aumenta la energía interna del sistema, o lo que es lo mismo, el trabajo recibido o el calor absorbido.

  

∆U=Q+W

Criterio tradicional

   Se considera positivo el calor absorbido y el trabajo que realiza el sistema sobre el entorno.

∆U=Q-W

Donde:

• ∆U: Incremento de energía interna del sistema (  Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el julio ( J )
• Q: Calor intercambiado por el sistema con el entorno. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el julio (J), aunque también se suele usar la caloría (cal). 1 cal = 4.184 J
• W: Trabajo intercambiado por el sistema con el entorno. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el julio ( J )

Al igual que todos los principios de la termodinámica, el primer principio se basa en sistemas en equilibrio.

Por otro lado, es probable que hayas oído más de una vez que la energía ni se crea ni se destruye, solo se transforma. Se trata del principio general de conservación de la energía. Pues bien, la primera ley de la termodinámica es la aplicación a procesos térmicos de este principio. En un sistema aislado, en el que no se intercambia energía con el exterior, nos queda:

El universo en su totalidad se podría considerar un sistema aislado, y por tanto, su energía total permanece constante.

Finalmente observa que, al ser una función de estado, la diferencia de energía interna solo depende del estado inicial y final,   y no del camino que haya seguido el proceso.